MATEMATIKA ITU ASIK: apa itu turunan?

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan

untuk a = konstanta

$f(x) = ax^n$ maka $f'(x) = an.x^{n-1}$
$f(x) = a$ maka $f'(x) = 0$
$f(x) = x$ maka $f'(x) = 1$

jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi

$f(x) = U + V$ maka $f'(x) = U' + V'$
$f(x) = U - V$ maka $f'(x) = U' - V'$
$f(x) = U\times V$ maka $f'(x) = U'.V + V'.U$
$f(x) = \frac UV$ maka $f'(x) = \frac {U'.V - V'.U}{V^2}$
$f(x) = U^n$ maka $f'(x) = n.U^{n-1}.U'$ dinamakan aturan rantai
Tentukan turunan pertama dari :
1. $f(x) = 2x^5$
  Jawab :
  
  $\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 2.5.x^{5-1}\\ & = & 10x^4\end{array}$
2. $f(x) = \frac 3x$
  Jawab :
  
  * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi $f(x) = 3.x^{-1}$
  
  * maka :
  
  $\begin{align*}f'(x) & = & 3.(-1).x^{-1-1}\\ & = & (-3).x^{-2}\\ & = & -\frac{3}{x^2}\end{align*}$
3. $f(x) = \sqrt{7x}$
  Jawab :
  
  * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi $f(x) = \sqrt7 .\;x^{\frac{1}{2}}$
  
  * maka :
  
  $\begin{align*}f'(x) & = & \sqrt 7. \frac 12.x^{\frac 12-1}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7.x^{-\frac{1}{2}}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7. \frac{1}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt 7}{2\sqrt x}.\frac{\sqrt x}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt{7x}}{2x}\end{align*}$
4. $f(x) = \frac{3x-2}{x+1}$
  Jawab :
  
  * kita misalkan $\begin{array}{rcl} U=3x-2 & maka & U'=3\\ V=x+1 & maka & V'=1\end{array}$
  
  * maka :
  
  $\begin{align*}f'(x) & = & \frac{U'.V-V'.U}{V^2}\\ & = & \frac{(3)(x+1)-(1)(3x-2)}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{3x+3-3x+2}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{5}{(x+1)^2}\end{align*}$
5. Jawab :
  
  * kita misalkan $U = 3x^2 -5\: maka U'=6x$ dan $n = 4$
  
  * lalu kita pakai $f'(x) = n.U^{n-1}.U'$ ( aturan rantai )
  
  $\begin{align*}f'(x) & = & 4.(3x^2-5)^{4-1}.6x\\ & = & 24x(3x^2-5)^3\end{align*}$
  
  Fungsi naik dan fungsi turun
  - Fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0
  - Fungsi f(x) turun jika f′(x) < 0
  - Fungsi f(x) stasioner jika f′(x) = 0